Сулейман Везиров родился в Баку в семье ротмистра Азад-бека Везирова в 1910 году. Его отец в 1920 году погиб в Иране. С 1918 года Сулейман Везиров учился в Шушинском реальном училище, затем поступил в Бакинский промышленно-экономический техникум. После окончания техникума работал замерщиком нефти на Биби-Эйбате. В 1928 году С. А. Везиров поступил на горный факультет Азербайджанского политехнического института, который окончил в 1932 году. Министр нефтяной промышленности (1954—1959), председатель Совета народного хозяйства (1959—1965), заместитель Председателя Совета Министров (1965—1970), заместитель Председателя Президиума Верховного Совета Азербайджанской ССР (1970—1973). Похоронен на Аллее почётного захоронения в Баку.