А. И. Целиков родился (20) апреля 1904 года в Москве в семье преподавателя химии ИМТУ. В 1921 году окончил среднюю школу и поступил на механический факультет МВТУ. Окончил в 1928 году Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана (МВТУ) по специальности «инженер-механик с уклоном по прокатным станам». В 1925—1935 годах — конструктор в «Стальпроекте», на заводе «Серп и молот» и Ижевском заводе. С 1935 года преподаёт в вузах (с 1949 года — профессор МВТУ). В 1943 году Александр Иванович успешно защитил докторскую диссертацию в Московском институте цветных металлов и золота. При этом ему одновременно было присвоено ученое звание профессора. В 1945—1959 годах — начальник Центрального конструкторского бюро, с 1959 — директор Всесоюзного научно-исследовательского и проектно-конструкторского института металлургического машиностроения. Разработал теорию прокатки и методы расчёта прокатных станов. Под руководством и при участии Целикова созданы и внедрены в промышленность оригинальные станы и агрегаты (блуминг, непрерывные трубопрокатные и трубосварочные станы, штамповочные прессы усилием 735 Мн). Разработаны технология и агрегаты совмещения непрерывного литья металлов с прокаткой и сварки труб с прокаткой, принципиально новые процессы прокатки периодических профилей, шаров, винтов, осей, зубчатых колёс и других изделий и необходимое для этого оборудование. Умер 28 октября 1984 года в Москве. За свою полувековую творческую деятельность А. И. Целиков опубликовал 36 монографий, свыше 500 статей, вместе с соавторами ему выдано 226 авторских свидетельств на изобретения.